Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Bài viết trình bày tương đối đầy đủ các hệ thức lượng vào tam giác cùng một trong những dạng toán liên quan, trong mỗi dạng toán, bài viết hướng dẫn bỏ ra tiết cách thức giải toán, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đi kèm.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

A. HỆ THỨC LƯỢNG trong TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ gồm $a$, $b$, $c$ theo thứ tự là độ dài bố cạnh đối lập với bố góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.

*

1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài mặt đường trung tuyến đường của tam giác: call $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài các đường trung tuyến đường lần lượt vẽ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Các công thức tính diện tích s tam giác: gọi $R$, $r$ thứu tự là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp, mặt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ cùng $S$ là diện tích s của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).

B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCDạng 1: Tính một số trong những yếu tố vào tam giác theo một trong những yếu tố mang lại trước (trong kia có tối thiểu một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ sử dụng định lí cosin cùng định lí sin.+ đo lường các nguyên tố trung gian (trước khi tính yếu ớt tố phải tìm) bằng những hệ thức lượng vào tam giác thích hợp.Chú ý: bạn đọc hãy ôn tập lại những hệ thức lượng vào tam giác vuông (đã học tập ở lớp 9).

Bài toán 1: mang lại tam giác $ABC$ có $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính những cạnh cùng góc sót lại của tam giác.b) Tính diện tích của tam giác.c) Tính con đường cao $h_a$ vẽ từ bỏ $A$ của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do kia $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$

Bài toán 2: cho tam giác $ABC$ gồm $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính các cạnh và những góc sót lại của tam giác.b) Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

*

a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta áp dụng định lí cosin khi biết $2$ cạnh và góc xen giữa $2$ cạnh đó.– Ta áp dụng định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh cùng góc đối diện cạnh đó.+ $1$ cạnh với $2$ góc kề cùng với nó (lúc này ta sẽ tính được góc đối diện cạnh đó).– việc tìm các nguyên tố của tam giác lúc biết các yếu tố khác còn được gọi là giải tam giác.

Xem thêm: Nồi Chiên Không Dầu Điện Máy Cho Lớn, Nồi Chiên Không Dầu Lotte 5,5 Lít

Bài toán 3: mang đến tam giác $ABC$ gồm $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$

Dạng 2: chứng minh các hệ thức tương quan tới các yếu tố trong tam giác. Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng đã gồm và các tính chất, những yếu tố vào tam giác để triệu chứng minh.

Bài toán: đến tam giác $ABC$ có những cạnh $a$, $b$, $c$, những đường cao khớp ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ bệnh minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$

*

Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = p. – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương trường đoản cú ta minh chứng được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) phụ thuộc vào công thức tính diện tích s tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$

Dạng 3: nhấn dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác và các tính chất của những tam giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ giả dụ $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông trên $A.$+ giả dụ $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân nặng tại $A.$+ nếu như $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.

Bài toán 1: xác minh dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$

Theo công thức Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông trên $A.$

Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có các góc và những cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C.$

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính các góc, các cạnh còn lại, mặt đường cao $h_a$ và nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$

Bài toán 2: call $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung tuyến ứng với các cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$

Bài toán 3: gọi $I$, $J$ theo lần lượt là trung điểm của những đường chéo cánh $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, bệnh minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) khẳng định công thức tính đường chéo $d$ của hình thang cân nặng biết đáy bé dại là $a$, đáy khủng là $b$ và ở bên cạnh là $c.$

Bài toán 4: minh chứng tập các điểm mà lại tổng các bình phương khoảng cách đến $2$ điểm cố định $A$, $B$ mang đến trước bằng một số trong những không thay đổi $k^2$ là một đường tròn.

Bài toán 5: mang đến tam giác $ABC$, triệu chứng minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$

Bài toán 6: điện thoại tư vấn $r_a$, $r_b$, $r_c$ theo thứ tự là nửa đường kính đường tròn bàng tiếp ở trong cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ bệnh minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).

Bài toán 7: mang lại tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$

Bài toán 8: đến tam giác $ABC$, bệnh minh:a) nếu như $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) giả dụ $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$

Bài toán 9: chứng tỏ điều kiện đề xuất và đủ để tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$

Bài toán 10: xác định dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$

Bài toán 11: chứng minh rằng trường hợp $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *