CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO

Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng cấp trong chương trình Toán THCS.

Bạn đang xem: Các bất đẳng thức nâng cao

Bất đẳng thức vào chương trình Toán trung học cơ sở lớp (6, 7, 8, 9) là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT thường là bài xích cuối cùng trong những đề thi để phân loại học sinh, việc chứng minh bất đẳng thức thcs thi học sinh giỏi cấp quận (huyện), tỉnh, thành phố.

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn, Phương Trình Chứa Căn Thức

Bất đẳng thức thcs cơ bản và nâng cao

Các bất đẳng thức cấp 2 thường cần sử dụng là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với các bộ số

*
không âm ta có:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Ta gồm 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Dạng 1:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Dạng 2:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="270" style="vertical-align: -5px;">

Dạng 3:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM đến 2 số cùng 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: đến là 2n số thực tùy ý khi đó

Dạng 1:

*
(1)

Dạng 2:

*
(2)

Dạng 3:

*
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)

*

Dấu “=” xảy ra ở (3)

*

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel tốt còn gọi là BĐT Schwarz

Cho là những số >0

Ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát mắng Nếu

*

Hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Nếu

*

hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Bất đẳng thức Chebyshev ko được sử dụng trực tiếp cơ mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev mang lại dãy số sắp thứ tự, bởi đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử bao gồm quan hệ thứ tự giữa các số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

*
-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="328" style="vertical-align: -5px;">

Nếu

*
r>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="73" style="vertical-align: -2px;"> thì
*

Bất đẳng thức này còn có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây bản thân chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là những số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

*

Dấu “=” xảy ra lúc a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức mức độ vừa phải cộng – vừa đủ điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu

*
là những số thực dương thì

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số không âm

*

*
với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra lúc a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá chỉ trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

*

Đẳng thức xảy ra lúc x,y thuộc dấu hay

*

Với mọi số thực x,y ta có

*

Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ khi

*

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

*
*
thì :

Dạng 1:

*

Dạng 2: đến x,y,z,a,b,c là những số dương ta có

*
a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="538" style="vertical-align: -6px;">

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *